Dérivée et sens de variation

Théorème

Soit `f` une fonction définie et dérivable sur un intervalle `I` .

• La fonction `f` est croissante sur `I` si et seulement si, pour tout réel `x` de `I` , \(f'(x) \geqslant 0\) .
  
• La fonction `f` est décroissante sur `I` si et seulement si, pour tout réel `x` de `I` , \(f'(x) \leqslant 0\) .
• La fonction `f` est constante sur `I` si et seulement si, pour tout réel `x` de `I` , \(f'(x) =0\) .

Remarques

Dans chacun des cas suivants, la courbe `\mathcal{C}`  représente une fonction `f` définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) telle que, pour tout réel `x` , \(f'(x) \geqslant 0\) .

Exemple

Soit `f`  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-3x^2+2x-5\) .

La fonction `f` est dérivable sur  \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(f'(x)=-3\times 2x+2 \times 1+0\) soit \(f'(x)=-6x+2\) .

Sur \(\mathbb{R}\) , \(-6x+2=0 \iff -6x=-2 \iff x=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}\) et le coefficient de  \(x\) ,  \(-6\) , est strictement négatif.

On en déduit le tableau de signes de  \(f'(x)\) et le tableau de variations de la fonction `f` :

La fonction `f` admet donc un maximum égal à \(-\dfrac{14}{3}\) et atteint en \(x=\dfrac{1}{3}\) .